先週土曜日に行われた「第３回わか杉思考コンテスト」には、大仙市・仙北市・美郷町の小学生5４名、中学生42名計9６名が参加しました。小学生で３名欠席でした。　問題は、小学生部門は満点者が出ましたが、中学生部門は昨年度より難易度が高く、深い思考をしなければゴールに届かない問題もありました。96名の小・中学生が、9時10分から11時10分まで、2時間もの長時間、一つの問題に取り組んでいる姿は圧巻でした。本校の7名の出場者も、最後まであきらめることなく考え続けました。　それでは、中学校部門の問題を少し紹介します。問題は１から６までの大問です。電卓を使用してもいいです。

　

問題１　次の計算が正しくなるように、□に数字（０，１，２，・・・・９）を書き入れなさい。

　　　　　２０１０

　　　×　　□□□

　　　　□□□□□　 ←ア

　　　□□□□□　　 ←イ

　　　□□□□　　

　　　７７７□□□

　

　毎年西暦(今年は2010)に関する四則演算の虫食い算が出ますが、今年もかけ算として出題されました。ほとんどの参加者が正解に到達しました。

　2010にある１桁の数をかけると、必ず百の位と１の位が０になります。また、アとイの５桁になっているところでは、万の位が１となります。なぜなら、九九の２の段は、最高で２×９＝１８だからです。そうすると問題を眺めているだけで、９つの□が埋まります。

　　　　　２０１０

　　　×　　□□□

　　　　１□０□０

　　　１□０□０

　　　□０□０　　

　　　７７７□□０

　このあと、積の万の位が７となっていますので、かける数の百の位は３となることがわかります。という具合に考えていくと他の□にも数字が入り、答えに到達します。

　　　　　２０１０

　　　×　　３□□

　　　　１□０□０

　　　１□０□０

　　　６０３０　　

　　　７７７□□０

　　　　　　↓

　　　　　２０１０

　　　×　　３８□

　　　　１□０□０

　　　１６０８０

　　　６０３０　　

　　　７７７８□０

　　　　　　↓

　　　　　２０１０

　　　×　　３８７

　　　　１４０７０

　　　１６０８０

　　　６０３０　　

　　　７７７８７０

　

問題４　斉藤さんは、下の図のように白の碁石を上から順番に１個、２個、３個、・・・・ｎ個と並べていきました。石田さんがその中のある段の碁石をすべて除いた後、斉藤さんは残りの（ｎ−１）段について、１段あたりの碁石の数の平均

　　　　　　　　　９８

　を調べたところ

　　　　　　　　　 ３

になりました。石田さんは上から何段目の碁石をすべて除いたでしょうか。

　

　　　　　 ○　　　　　 1段目（碁石は１個）

　　　　　○ ○　　　　　2段目（碁石は2個）

　　　　 ○ ○ ○　　　　3段目（碁石は3個）

　　　 ・・・・・・　

　　○・・・・・・・○　 ｎ段目（碁石はｎ個）

　

　この問題は、まずどんな問題なのか、問題で問われていることの意味を考えなくてはなりません。そこで、ｎ個ではなく、具体的なところで、10段までを調べてみます。

　10段までの碁石の数は

　１＋２＋３＋・・＋７＋８＋９＋１０

＝５５です。この出し方は１０×１１÷２で出ます。

　この中から、最小で１を除いた９つの段の平均を出すと

　（５５ー１）÷９＝６　となります。

　また、最大の数１０を除いた９つの段の平均を出すと

　（５５−１０）÷９＝５　となります。

　具体例が一つだけだと不安ですので、もう一つ２０までの段を調べてみます。

　１＋２＋・・・１９＋２０

　＝２０×２１÷２＝２１０

　同じように最小、最大を調べると

　（２１０−１）÷１９＝１１

　（２１０−２０）÷１９＝１０

となります。

　ここまでをまとめてみると

　

10段まで９段あたりの平均５〜６

20段までの19段あたりの平均10〜19

　　　　　　　　　　９８

　そこで、問題の平均を調べると

　　　　　　　　　　 ３

　 ９８　　　 ２

＝３２＝32.66・なります。

　　３　　　　３

　そこで、予測をします。

10段まで・・・・・　５〜 ６

20段まで・・・・・１０〜11

30段まで・・・・・１５〜16

40段まで・・・・・２０〜21

50段まで・・・・・２５〜26

60段まで・・・・・３０〜31

　

ということで、６０段を超えると、平均が３０を超えることがわかります。

　そこで９８／３の分母が６０になるようにすると

　９８×２０／３×２０＝１９６０／６０

　

６１段目までの和を求めると

　６１×６２÷２＝１８９１

　１９６０−１８９１＝６９　なので

６１段目までなので、６９はありえません。

　次に、９８／３の分母が３×２１の場合、

　９８×２１／３×２１＝2058／６３となります。

６４段目までの和を求めると

　６４×６５÷２＝２０８０

　２０８０−２０５８＝２２

となり、６４段目までに２２はあるので、答えは２２段目となります。

　ちなみに、３×２２の場合を考えると

　９８×２２／３×２２＝２１５６／６６で、６７段目までの和は

　６７×６８÷２＝２２７８

　２２７８−２１５６＝１２２

となり、67段目までに１２２はないので、ありえません。これ以降も同じ状況が続きます。ということで、答えは２２でした。　

　この問題のポイントは、数の和の求め方です。なぜ、１から１０までの和が

１０×１１÷２＝５５　という計算方法で成り立つのか、次のように考えるといいです。

　Ｓ＝１＋２＋・・・・＋８＋９＋10

　Ｓ＝10＋９＋・・・ ＋３＋２＋ １

として、両辺を足します。

　

　２Ｓ＝１１＋１１＋・・・・＋１１

　２Ｓ＝１１×１０

　　Ｓ＝１１×１０÷２＝５５

　

　普段の授業の中で、コンテストのような問題を解くことは、1年に数回くらいですが、ときにはこのような問題をじっくり解くことも楽しく感じます。「すぐわかる」から「すぐわからない」問題をどのように解いていくか、筋道を考えるのも数学の楽しさとなります。　

　なお、問題全てについて知りたい方は、インターネットで「平成２２年度わか杉思考コンテスト」と検索に入れて、そのページの「主な施策・事業」をクリックすると見ることができます。

　

　

　11月17日(水)に、1年Ａ組で数学、2年Ｂ組で体育の校内授業研究会がありました。

　数学は担任である村田文子先生が、「比例と反比例」の単元で、「いろいろな問題をグラフを利用して解決することができる」をねらいに授業を行いました。まるちゃんとタマちゃんが図書館まで歩くのですが、歩く速度が異なり、そこから色々な問題が派生し、それをグラフを参考にしながら解決していくという授業でした。スマートボード(電子黒板)を使って、生徒たちは鮮やかに解きました。

　体育は、石川真一先生が、「体つくり運動に積極的に取り組むことができる」というねらいで、サーキットトレーニングを授業に組みながら行いました。特に印象的だったのは、4人くらいの輪になって、長い棒をそれぞれが持って、いっせいの！で、隣の人の棒が倒れる前に、その棒をキャッチする、という運動です。簡単なようで汗だくになりなかなか難しい動作でした。